前言
- 微分方程按自变量个数分为：只有一个自变量的常微分方程（Ordinary Differential Equations）和包含两个或两个以上独立变量的偏微分方程（Partial Differential Equations）。
- 微分方程按阶数分为：一阶、二阶、高阶，微分方程的阶数取决于方程中最高次导数的阶数。
- 微分方程还可以分为：（非）齐次，常（变）系数，（非）线性，初值问题/边界问题…
- 数学建模中的微分方程问题，通常还是这些专业课程中相对简单的模型，专业课程的教材在介绍一个模型时，往往都做了非常详细的讲解。只要搞清楚问题的类型、选择好数学模型，建模和求解并不是很难，而且在撰写论文时对问题背景、使用范围、假设条件、求解过程有大量现成的内容可以复制参考。
- 老师说，一看这就是××问题，显然就可以用××模型。
-
微分方程模型是数学建模中最容易的题型：模型找教材，建模找例题，求解有例程，讨论有套路，论文够档次。
- 可参考《Python小白的数学建模课-09.微分方程模型》、《什么是龙格库塔？常微分方程的数值解法》
python SciPy官方文件：Integration and ODEs
odeint结果受积分点个数影响
- odeint函数借助数值积分算法对常微分方程（ODE）进行求解。它会自动选取合适的步长来保证积分的精度（采用自适应步长的数值积分算法，它会依据微分方程的特性自行选择合适的积分步长，以保证积分精度），并且尽可能高效地进行计算。当你给odeint提供自变量t的一系列值时，这些值主要用于指定你想要得到解的时间点，而不是用来控制积分过程中的步长。但当函数非线性较强时，积分点个数可能会影响结果
- 函数的非线性特性：如果常微分方程的右侧函数是非线性的，那么解的行为可能会非常复杂。即使是微小的数值误差，在非线性函数的作用下也可能会被放大。当t作为第 2 个点和第 3 个点时，由于之前的数值误差在非线性函数中的传播和放大，可能会导致相同t值处的结果不同。
- 数值积分算法的特性：odeint内部使用的 LSODA 算法是一种变步长的数值积分算法。在积分过程中，算法会根据当前的误差估计自动调整步长，以保证解的精度。当t作为第 2 个点和第 3 个点时，算法所处的积分阶段不同，之前积累的误差和步长选择也会不同。这可能导致在相同的t值处，由于算法从不同的路径和步长逼近该点，从而产生不同的结果。
- 积分算法的误差累积：要是微分方程较为复杂，或者积分区间较大，积分算法在内部的误差可能会出现累积。当t的数据点较少时，odeint可能会采用较大的步长进行积分，这就可能会使误差累积得更多，进而影响到最终结果。
- 初始条件的影响：在数值积分中，初始条件对于后续的解有着重要的影响。如果在求解过程中，初始条件的微小变化可能会导致后续解的累积误差。例如，在高阶常微分方程转化为一阶方程组时，初始条件的设置可能会影响到算法在不同时间点的计算路径。当t作为第 2 个点和第 3 个点时，由于初始条件的累积效应，可能会导致结果不同。
- 初始条件和边界条件的敏感性：某些微分方程对初始条件或者边界条件十分敏感，在这种情况下，积分步长的微小变化都可能会对结果产生显著影响。
示例代码（y2或者y3时非线性更强更明显）：
import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt
# 定义一个非线性 ODE
def model(Y, t):
y, z = Y # y 和 z 是变量
return [y * z , z * y * 2 - 1] # 返回 y 和 z 的导数
# 初始条件
y0 = [1, 1]
num_points = range(2, 10)
t_final = 2
result = []
for i in num_points:
t = np.linspace(0, t_final, i)
y = odeint(model, y0, t)
result.append((t,y))
print(f"t = {t_final} 作为第 {i} 个点的y结果: {y[-1][0]}")
print(f"t = {t_final} 作为第 {i} 个点的z结果: {y[-1][1]}")
plt.figure(figsize=(10, 5))
for i, (t, y) in enumerate(result):
plt.plot(t, y[:, 0], label=f'y num_points={num_points[i]}')
# plt.plot(t, y[:, 1], label=f'z num_points={num_points[i]}', linestyle='--')
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('Values')
plt.title('ODE Solution with Different Number of Points')
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()
import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt
# 定义一个简单的常微分方程 dy/dt = -y**2
def model(y, t):
dydt = -y**2
return dydt
# 初始条件
y0 = 1
# 定义t取2个点
t_two_points = np.linspace(0, 5, 2)
# 定义t取100个点
t_hundred_points = np.linspace(0, 5, 100)
# 求解ODE
y_two_points = odeint(model, y0, t_two_points)
y_hundred_points = odeint(model, y0, t_hundred_points)
# 选择多个相同的t值进行比较
common_ts = np.linspace(0, 5, 3)
for common_t in common_ts:
index_two = np.argmin(np.abs(t_two_points - common_t))
index_hundred = np.argmin(np.abs(t_hundred_points - common_t))
print(f"t = {common_t:.2f} 时，t取2个点的结果: {y_two_points[index_two][0]:.6f}")
print(f"t = {common_t:.2f} 时，t取100个点的结果: {y_hundred_points[index_hundred][0]:.6f}")
# 绘图
plt.plot(t_two_points, y_two_points, 'ro-', label='2 points')
plt.plot(t_hundred_points, y_hundred_points, 'b-', label='100 points')
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('y(t)')
plt.title('Comparison of ODE Solutions with Different Number of Points')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
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